Введение в теорию атома
Учитывая, что каждый из операторов активен лишь к своим переменным, получаем:
. (8.11)
Для разделения переменных следует слева
умножить каждое из слагаемых в уравнении на функцию, обратную искомому общему решению. Эта функция равна 
:
8.11.
Получаем равенство, обе части которого содержат независимые переменные и поэтому их обе следует приравнять постоянной величине, т.е.:
. (8.12)
Постоянная легко определяется из радиальной части. Угловая часть уравнения Лапласа представляет собой дифференциальное уравнение Лежандра. Это второе из двух уравнений системы вида
. (8.13)
8.12.
Уравнение Лежандра
Это операторное уравнение на собственные функции и собственные значения. В квантовой механике таковы все уравнения для динамических переменных. Дифференциальное уравнение Лежандра с точностью до постоянного множителя совпадает с операторным уравнением на
собственные значения оператора квадрата момента импульса. Напомним, что оператор момента импульса равен
Возводя его в квадрат и вынося влево постоянный множитель, получаем:
Заменяя декартовы координаты шаровыми и производя всю последовательность действий, находим, что слева получается оператор Лежандра:
. (8.14)
На этом основании решения уравнения Лежандра являются также и решениями операторного уравнения на собственные значения квадрата момента импульса. Так получается строгая формула квантования модуля и проекции момента импульса.
8.13. Квадрат модуля момента импульса определяется собственными значениями оператора Лежандра.
Для сравнения представим оба выражения:
. (8.15)
Допустимые значения модуля момента импульса свободно вращающейся вокруг центра масс квантовой системы (ротатора) следуют из операторного уравнения (8.15):
. (8.16)
8.14. Уравнение Лежандра содержит две угловые переменные. Их необходимо разделить и исследовать свойства вращения. Раскрывая оператор Лежандра, получаем
. (8.17)
Шаровые функции представим в виде 
. Их ещё называют сферическими гармониками из-за того, что у них, как и у обычных тригонометрических гармоник – синусоиды и косинусоиды имеются чередующиеся в пространстве пучности и узлы.
Разделим переменные:
Получена система (8.18) из двух дифференциальных уравнений (8.18.1 и 8.18.2), решения которых связаны общей постоянной.
8.15. Одно из них (8.18.1) имеет знакомый вид. Оно идентично уравнению Шрёдингера для плоского ротатора и описывает свойства вращения относительно оси вращения (вдоль переменной долготы). Полное совпадение с плоским ротатором получится лишь при условии, что в атоме H это уравнение характеризует лишь часть всей ситуации и определяет проекцию момента импульса на ось вращения
Из этого уравнения вытекают значения компоненты момента импульса вдоль оси вращения (в нашем случае – вдоль оси аппликат):
(8.21)
8.16.
Второе из уравнений (8.18.2) системы - дифференциальное уравнение для широты:
(8.22)
Наконец-то обратимся к уравнению Шрёдингера для водородоподобного атома!
8.17. Гамильтониан и уравнение Шрёдингера
. (8.23)
8.17. Несложные преобразования, состоящие только в перемещении и группировке слагаемых, дают следующее:
()
Уравнение Шрёдингера для атома водорода приведено к компактному операторному виду, и здесь уже возможно его решение по методу Фурье разделения переменных.
Решения содержат радиальный и угловой сомножители:
8.18. Схема разделения переменных та же, что и в уравнении Лапласа (по правилу «оператор аддитивен - решение мультипликативно». Есть сомножитель радиальный, и есть угловой, и частные решения углового уравнения – сферические функции. Разделим переменные:
Смотрите также
Охрана труда сегодня, как никогда, актуальна
Опыт крупнейших мировых компаний показывает, что охрану труда высшие руководители считают одним из главных приоритетов. Так, из десятков показателей деятельности предприятия охрану труда и здоровья св ...
Алифатические предельные углеводороды и их строение
Алканы, или
парафины - алифатические предельные углеводороды, в молекулах которых атомы
углерода связаны между собой простой (одинарной) (s-связью.
Оставшиеся
валентности углеродного ато ...