Введение в теорию атома

Научная литература / Введение в теорию атома
Страница 4

Получается система (8.29) из двух дифференциальных уравнений: (8.29.1) - уравнение Лежандра для сферических гармоник (с точностью до постоянной совпадающее с уравнением для квадрата модуля момента импульса !), и (8.29.2) - чисто радиальное:

. (8.29)8.19. Итоги.

8.19.1. Гамильтониан для электрона в водородоподобном ионе (атоме):

(8.30)

8.19.2. Лапласиан в сферических переменных:

+. (8.31)

8.19.3. Уравнение Шрёдингера с потенциальной функцией V(r) для одноэлектронных состояний:

. (8.32)

Потенциальная функция V

(r

) имеет вид:

1) у атома H V(r) = -e2/r,

2) у водородоподобного иона V

(r

) =-Ze2/r.

Уравнение Шрёдингера в общем виде для водородоподобного иона приобретает вид

. (8.33)

Оно разделяется на систему из трёх дифференциальных уравнений:

. (8.34)

От потенциала зависит лишь радиальная, но не угловая часть уравнения Шрёдингера.

Система этих уравнений даёт полное описание атомных орбиталей - одноэлектронных волновых функций в простейшем случае – в водородоподобном ионе. Первое уравнение совпадает с уравнением Шрёдингера для плоского ротатора, оно описывает свойства вращения вокруг аппликаты (мы выполняли преобразования так, что это ось z). Решения этого уравнения нумеруются квантовым числом

. (8.35)

1)

Первое уравнение (как и в плоском ротаторе) описывает компоненту момента импульса вдоль оси вращения, определяя проекцию вектора момента с помощью квантового числа m.

2)

Второе и первое уравнения вместе

(до разделения угловых переменных) проистекают из одного общего дифференциального уравнения Лежандра

(8.36)

из которого следует правило квантования модуля момента импульса с помощью числа l

:

(8.37)

Уравнение (E) предписывает условие

. (8.38)

и возникает следствие и магнитное квантовое число m ограничено пределами . Всякому квантовому числу l, таким образом, отвечает 2l+1 состояние.

3)

Радиальное уравнение приводит к квантованию энергии электронного уровня. Правило квантования одноэлектронных уровней – энергетический спектр водородоподобного иона выражается формулой Бора:

или в атомных единицах:

.

В итоге каждую из атомных орбиталей в атоме водорода можно быть охарактеризовать (пронумеровать) тройкой квантовых чисел . Для многих целей, связанных просто с перечислением АО, этих чисел вполне достаточно для их исчерпывающей характеристики, и, поэтому вместо символа волновой функции, достаточно просто перечислить тройку квантовых чисел индексы в скобках или в виде индексов. Этот способ записи эквивалентен волновой функции и такой же точно общий символ АО.

8.20.1. Квантовые числа, интервалы возможных значений.

8.20.2. Водородоподобные атомные орбитали.

Угловые компоненты АО и распределение вероятностей.

Полярные функции азимута Qlm(J) и функций широты F|m|(j)

Alm(

q

)

q

l,m

(

J

)

A(

j

)

F

|m|

(

j

)

(1/2) ½

1

(1/2

p

) ½

1

(3/2) ½

cosJ

(1/2

p

) ½

1

(3/4) ½

sin

J

(1/2

p

) ½

exp(

±

i

j

)

(5/8) ½

3

×

cos2

J

-1

(1/2

p

) ½

1

(15/16) ½

sin2J

(1/2

p

) ½

exp(

±

i

j

)

(15/16) ½

sin2

J

(1/2

p

) ½

exp(

±

i2

j

)

 

5

×

cos2

J

-3

×

cos

J

(1/2

p

) ½

1

 

(5

×

cos2

J

-1)

×

sin

J

(1/2

p

) ½

exp(

±

i

j

)

 

sin2

J

×

cos

J

(1/2

p

) ½

exp(

±

i2

j

)

 

sin3

J

(1/2

p

) ½

exp(

±

i

3

j

)

Страницы: 1 2 3 4 5

Смотрите также

Сера
Сера  S – химический элемент VI группы переодической системы Мендеева, атомный номер 16, атомная масса 32,064. Твёрдое хрупкое вещество жёлтого цвета. ...

Физикохимия проницаемости биологических мембран
...

Химия лантаноидов
Судя по последним публикациям, нынче довольно трудно отметить те стороны жизни, где бы не находили применение лантаноиды. На основе лантаноидов получают многие уникальные материалы, кото ...