Введение в теорию атома

Получается система (8.29) из двух дифференциальных уравнений: (8.29.1) - уравнение Лежандра для сферических гармоник (с точностью до постоянной совпадающее с уравнением для квадрата модуля момента импульса !), и (8.29.2) - чисто радиальное:

. (8.29)8.19. Итоги.

8.19.1. Гамильтониан для электрона в водородоподобном ионе (атоме):

(8.30)

8.19.2. Лапласиан в сферических переменных:

+. (8.31)

8.19.3. Уравнение Шрёдингера с потенциальной функцией V(r) для одноэлектронных состояний:

. (8.32)

Потенциальная функция V

(r

) имеет вид:

1) у атома H V(r) = -e2/r,

2) у водородоподобного иона V

(r

) =-Ze2/r.

Уравнение Шрёдингера в общем виде для водородоподобного иона приобретает вид

. (8.33)

Оно разделяется на систему из трёх дифференциальных уравнений:

. (8.34)

От потенциала зависит лишь радиальная, но не угловая часть уравнения Шрёдингера.

Система этих уравнений даёт полное описание атомных орбиталей - одноэлектронных волновых функций в простейшем случае – в водородоподобном ионе. Первое уравнение совпадает с уравнением Шрёдингера для плоского ротатора, оно описывает свойства вращения вокруг аппликаты (мы выполняли преобразования так, что это ось z). Решения этого уравнения нумеруются квантовым числом

. (8.35)

1)

Первое уравнение (как и в плоском ротаторе) описывает компоненту момента импульса вдоль оси вращения, определяя проекцию вектора момента с помощью квантового числа m.

2)

Второе и первое уравнения вместе

(до разделения угловых переменных) проистекают из одного общего дифференциального уравнения Лежандра

(8.36)

из которого следует правило квантования модуля момента импульса с помощью числа l

:

(8.37)

Уравнение (E) предписывает условие

. (8.38)

и возникает следствие и магнитное квантовое число m ограничено пределами . Всякому квантовому числу l, таким образом, отвечает 2l+1 состояние.

3)

Радиальное уравнение приводит к квантованию энергии электронного уровня. Правило квантования одноэлектронных уровней – энергетический спектр водородоподобного иона выражается формулой Бора:

или в атомных единицах:

.

В итоге каждую из атомных орбиталей в атоме водорода можно быть охарактеризовать (пронумеровать) тройкой квантовых чисел . Для многих целей, связанных просто с перечислением АО, этих чисел вполне достаточно для их исчерпывающей характеристики, и, поэтому вместо символа волновой функции, достаточно просто перечислить тройку квантовых чисел индексы в скобках или в виде индексов. Этот способ записи эквивалентен волновой функции и такой же точно общий символ АО.

8.20.1. Квантовые числа, интервалы возможных значений.

8.20.2. Водородоподобные атомные орбитали.

Угловые компоненты АО и распределение вероятностей.

Полярные функции азимута Qlm(J) и функций широты F|m|(j)

Alm( q )	q l,m ( J )	A( j )	F |m| ( j )
(1/2) ½	1	(1/2 p ) ½	1
(3/2) ½	cosJ	(1/2 p ) ½	1
(3/4) ½	sin J	(1/2 p ) ½	exp( ± i j )
(5/8) ½	3 × cos2 J -1	(1/2 p ) ½	1
(15/16) ½	sin2J	(1/2 p ) ½	exp( ± i j )
(15/16) ½	sin2 J	(1/2 p ) ½	exp( ± i2 j )
	5 × cos2 J -3 × cos J	(1/2 p ) ½	1
	(5 × cos2 J -1) × sin J	(1/2 p ) ½	exp( ± i j )
	sin2 J × cos J	(1/2 p ) ½	exp( ± i2 j )
	sin3 J	(1/2 p ) ½	exp( ± i 3 j )

Copyright © 2024 - All Rights Reserved - www.chemicalnow.ru