Распределение примеси при диффузии из полубесконечного пространства (диффузия из концентрационного порога)

Диффундирующая примесь (диффузант) поступает в полубесконечное тело через плоскость x=0 из второго полубесконечного тела (источника) с равномерным распределением примеси. Концентрация примеси в источнике - No. Полагается, что в принимающем диффузант теле нет рассматриваемой примеси.

Начальное распределение концентраций для этого случая задается в виде

N(x,0) = No для x<0

N(x,0) = 0 для x>0

Решением уравнения (11) для этого случая является выражение

(14)

Второе слагаемое в квадратных скобках называют интегралом ошибок Гаусса или, иначе, функцией ошибок - error function

и сокращенно обозначают erf(z). В соответствии с сокращением это распределение называют erf - распределением.

(15)

В математике часто используют как самостоятельную и другую функцию

erfc

z = 1- erf

z (16)

которая называется дополнением функции ошибок до единицы или дополнительной функцией ошибок - error function complement.

Обе функции табулированы.

Таким образом, выражение (14) можно записать

(17)

Величина имеет размерность длины и носит название диффузионной длины или длины диффузии. Физический смысл этого параметра - среднее расстояние, которое преодолели диффундирующие частицы в направлении выравнивания градиента концентрации за время t.

Рассмотренное решение можно использовать как простейшую модель, представляющую распределение примеси в автоэпитаксиальной структуре. При этом, в качестве независимых источников примеси выступает как подложка, так и эпитаксиальный слой. Процессы диффузии с каждой стороны рассматриваются в этом случае как независящие друг от друга, а реальное распределение примесей на границе раздела будет представлять собой сумму отдельных решений.