Однородные функции. Уравнение Гиббса-Дюгема.
Функция многих переменных, например F(x,y,z), называется однородной функцией порядка k, если она обладает следующим свойством:
F (tx, ty, tz) = tk F (x, y, z),
(например, F = x3 +x2y + y2x + z3 является однородной функцией 3-его порядка). Однородные функции обладают следующим свойством (теорема Эйлера): .
Доказательство теоремы Эйлера следующее:
Если f = f (x1, x2,…xn ), а каждое xi = φ(t), то .
Пусть F (x, y, z ) - однородная функция порядка k, положим x = tα, y=tβ, z = tγ, тогда .
Продифференцируем по t: .
Положим t = 1,тогда α = x, β = y, γ = z и , что и требовалось доказать.
Если температура и давление постоянны, то энергия Гиббса является функцией только числа молей компонентов: G = G (n1, n2, …nk ) и легко сообразить, что она является однородной функцией первого порядка относительно числа молей компонентов и по теореме Эйлера (k = 1):
.
После дифференцирования имеем: .
Но , а при p, T =const
.
Следовательно, .
Это уравнение называется уравнением Гиббса-Дюгема и широко применяется в термодинамике растворов поскольку дает возможность рассчитать dμi i –ого компонента, если известны изменения химических потенциалов всех остальных компанентов в изобарно-изотермическом процессе. Для бинарного раствора .
Разделив на сумму п1 +п2, получим: .
Смотрите также
Особенности кинетики реакций на поверхности гетерогенных катализаторов
Рассмотрим подробнее применение закона действия масс
для реакций на поверхности. Для описания скорости элементарной стадии
используют закон действия поверхностей. Если процесс определяется с ...
Жиры. Аналитическая характеристика жиров
В настоящее время заметно возрос
интерес к липидам со стороны всех направлений медико-биологической науки.
Прежде всего - это связано с теми функциями, которые липиды выполняют в
организме ...