Однородные функции. Уравнение Гиббса-Дюгема.

Полезные материалы / Основы термодинамики / Однородные функции. Уравнение Гиббса-Дюгема.

Функция многих переменных, например F(x,y,z), называется однородной функцией порядка k, если она обладает следующим свойством:

F (tx, ty, tz) = tk F (x, y, z),

(например, F = x3 +x2y + y2x + z3 является однородной функцией 3-его порядка). Однородные функции обладают следующим свойством (теорема Эйлера): .

Доказательство теоремы Эйлера следующее:

Если f = f (x1, x2,…xn ), а каждое xi = φ(t), то .

Пусть F (x, y, z ) - однородная функция порядка k, положим x = tα, y=tβ, z = tγ, тогда .

Продифференцируем по t: .

Положим t = 1,тогда α = x, β = y, γ = z и , что и требовалось доказать.

Если температура и давление постоянны, то энергия Гиббса является функцией только числа молей компонентов: G = G (n1, n2, …nk ) и легко сообразить, что она является однородной функцией первого порядка относительно числа молей компонентов и по теореме Эйлера (k = 1):

.

После дифференцирования имеем: .

Но , а при p, T =const .

Следовательно, .

Это уравнение называется уравнением Гиббса-Дюгема и широко применяется в термодинамике растворов поскольку дает возможность рассчитать dμi i –ого компонента, если известны изменения химических потенциалов всех остальных компанентов в изобарно-изотермическом процессе. Для бинарного раствора .

Разделив на сумму п1 +п2, получим: .

Смотрите также

Коксохимическое производство
Основным сырьём для коксохимической промышленности служат угли. Структура и строение углей могут быть изучены при помощи микроскопа. Грубая структура угля, обнаруживаемая невоору­женным глаз ...

Синтех азотной кислоты
Азотная кислота по объему производства занимает среди других кислот второе место после серной кислоты. Все возрастающий объем производства HNO3 объясняется огромным значением азотной кислот ...

Стеклопластик
...